Resumen: The evolution and collision of dark solitary waves (solitons) appearing in cigar-shaped Bose-Einstein condensates with repulsive atom-atom interaction are here considered using a Boussinesq-Korteweg-de Vries description. We provide theoretical predictions and computer experiment evidence about their phase shifts or change of trajectories, in the space-time plot, corresponding
upon collisions. Details are also given about a suggested experiment that could assess their genuine solitonic nature
Resumen: We consider, both analytically and numerically, the evolution of two-dimensional (2D) nonlinear matter-wave pulses in a Bose-Einstein condensate with a disk-shaped trap and repulsive atom-atom interactions. Due to the strong confinement in the axial direction the sound speed of the system is c=(1/2 1/4)c 0, where c 0 is the corresponding value without the trap. From the 3D order-parameter
equation of the condensate, we derive a soliton-bearing Kadomtsev-Petriashvili equation with positive dispersion. When the trapping potential is weak in two transverse directions, a low-depth plane dark soliton can propagate in the condensate with a changing profile but preserving its structure down to the boundary of the condensate. We show that high-depth plane dark solitons are unstable to long-wavelength transverse disturbances. The instability appears as a longitudinal modulation of the soliton amplitude decaying into vortices. We also show how a dark lumplike 2D nonlinear excitation can be excited in the system. Furthermore, a dark lump decaying algebraically in two spatial directions can propagate rather stable in the condensate, but disappears near the boundary of the condensate where two vortices are nucleated. The vortices move in opposite directions along the boundary and when meeting merge creating a new lump. Finally, we also provide results for head-on and oblique collisions of two lumps in the system.
Resumen: En esta tesis se estudia la ecuacion de Schodinger no lineal (ESNL) en diversas variantes, contemplando aplicaciones y tecnicas matematicas generales para el analisis de estas ecuaciones de ondas. En la primera parte de la memoria se estudia la ESNL en el contexto de la condensacion de Bose-Einstein, donde este tipo de ecuaciones describen la evolucion de un condensado gaseoso diluido. En este marco se estudia la posibilidad de generar
vortices en el condensado empleando procedimientos mecanicos y electro-opticos, y se realiza un estudio detallado de la estabilidad de los vortices en distintas configuraciones: condensados de una y dos componentes, sistemas con simetria radial y complementemente asimetricos y regimenes de alta y baja interacion. En la segunda parte de la memoria se estudian las ESNL que modelizan la propagacion de un conjunto de haces laser en un medio con no linealidad saturable. Analizando las ecuaciones acopladas que rigen este sistema se encuentran soluciones excitadas (esto es, que no representan un minimo de funcional de energia) con la peculariedad de ser asimetricas y extremadamente robustas. Estas soluciones reciben el nombre de "solitones vectoriales de tipo dipolo" y fisicamente corresponden a p arejas de haces de luz ligados por una interacción atractiva y con un dinamica compleja. De cara a la s aplicaciones, se realiza un estudio detallado de la interaccion entre otros dipolos y otros objetos de luz, confirmando su potencial como elementos conmutadores opticos. En la ultima parte de la tesis se desarrollan las tecnicas matematicas que han sido necesarias para la confeccion de los dos primeros aparatados. Entre los metodos estudiados destacamos en primer lugar el metodo de momentos, donde se reduce la ecuacion en derivadas parciales, a un sistema dinamico que rige la evolucion de un conjunto finito de cantidades integrales, fisicamente medibles. El segundo conjunto importante de tecnicas desarrolladas son los metodos de minimizacion basados en gradientes de Sobolev. Esta familia de metodos son tecnicas de descenso rapido, optimizadas mediante precondicionadores obtenidos de forma rigurosa, y que sirven tanto para encontrar soluciones fundamentales de ecuaciones en derivadas parciales, como para buscar soluciones excitadas, sean estables o no. Por ultimo dedicamos un capitulo a la demostracion de la existencia de resonancias en las ecuaciones de Schordinger con forzado parametrico. Estas resonancias "extensas" constituyen un fenomeno nuevo en el que la totalidad del sistema responde de forma no acotada a una perturbacion finita.
Resumen: We show that dissipative solitons in systems with high-order nonlinear dissipation cannot survive in the presence of trapping potentials of the rigid wall or asymptotically increasing type. Solitons in such systems can survive in the presence of a weak potential but only with energies out of the interval of existence of linear quantum mechanical stationary states.
Palabras clave: Solitons,
Tunneling, Josephson effect, Bose-Einstein condensates in periodic potentials, Solitons, Vortices and topological excitations, Optical solitons, Nonlinear guided waves
Resumen: In this paper we describe the fundamental solution of the equation that is obtained linearizing the Uehling-Uhlenbeck equation around the steady state of Kolmogorov type f(k) = k−7/6. Detailed estimates on its asymptotics are obtained.
